Тождество это равенство, верное при любом значении входящей в него неизвестной переменной из области допустимых значений. Тригонометрические тождества используются при упрощении выражений, решении тригонометрических уравнений и геометрических задач.
Все нижеперечисленные тригонометрические тождества получаются из двух основных:
sin² α + cos² α = 1, cos (α − β) = cos α ⋅ cos β + sin β ⋅ sin α
Первое является следствием теоремы Пифагора, а второе получается применением теоремы косинусов (которая тоже вытекает из теоремы Пифагора).
Также используются выражения тангенса и котангенса через синус и косинус, которые следуют из определений этих функций.
Выбор знака (±) перед корнем в формулах V группы определяется координатной четвертью, в которой заканчивается угол.
sin² α + cos² α = 1 (основное тригонометрическое тождество)
tg α = sin α / cos α ; ctg α = cos α / sin α ; tg α ⋅ ctg α = 1
1 + tg² α = 1 / cos² α ; 1 + ctg² α = 1 / sin² α
sin (α ± β) = sin α ⋅ cos β ± cos α ⋅ sin β
cos (α ± β) = cos α ⋅ cos β ∓ sin β ⋅ sin α
tg (α ± β) = tg α ± tg β / 1 ∓ tg α ⋅ tg β
ctg (α ± β) = ctg α ⋅ ctg β ∓ 1 / ctg β ± ctg α
sin 2α = 2 sin α ⋅ cos α
cos 2α = cos² α − sin² α = 1 − 2 sin² α = 2 cos² α − 1
tg 2α = 2 tg α / 1 − tg² α
ctg 2α = ctg² α − 1 / 2 ctg α
sin 3α = 3 sin α − 4 sin³ α
cos 3α = 4 cos³ α − 3 sin α
sin α / 2 = ±√ 1 − cos α / 2
cos α / 2 = ±√ 1 + cos α / 2
tg α / 2 = ±√ 1 − cos α / 1 + cos α = sin α / 1 + cos α = 1 − cos α / sin α
ctg α / 2 = ±√ 1 + cos α / 1 − cos α = 1 + cos α / sin α = sin α / 1 − cos α
sin α = 2 tg α / 2 / 1 + tg² α / 2 ; cos α = 1 − tg² α / 2 / 1 + tg² α / 2
tg α = 2 tg α / 2 / 1 − tg² α / 2 ; ctg α = 1 − tg² α / 2 / 2 tg α / 2
Исходный текст статьи находится по адресу: vmz.su/mat/tt.htm
cos α ⋅ cos β = 1 / 2 [cos (α − β) + cos (α + β)]
sin α ⋅ sin β = 1 / 2 [cos (α − β) − cos (α + β)]
sin α ⋅ cos β = 1 / 2 [sin (α − β) + sin (α + β)]
cos α + cos β = 2 cos α + β / 2 ⋅ cos α − β / 2
cos α − cos β = − 2 sin α + β / 2 ⋅ sin α − β / 2
sin α ± sin β = 2 sin α ± β / 2 ⋅ cos α ∓ β / 2
tg α ± tg β = sin (α ± β) / cos α ⋅ cos β
ctg α ± ctg β = sin (β ± α) / sin α ⋅ sin β
sin² α = 1 / 2 (1 − cos 2α)
cos² α = 1 / 2 (1 + cos 2α)
sin³ α = 1 / 4 (3 sin α − sin 3α)
cos³ α = 1 / 4 (3 cos α + cos 3α)
a sin α + b cos α = √a² + b² sin (α + φ) = √a² + b² cos (α − γ)
a sin α − b cos α = √a² + b² sin (α − φ) = − √a² + b² cos (α + γ)
sin α + cos α = √2 sin (α + π⁄4) = √2 cos (α − π⁄4)
sin α − cos α = √2 sin (α − π⁄4) = −√2 cos (α + π⁄4)
φ = arctg b / a , γ = arctg a / b
Размещено на сайте 28.06.2020