Приёмы устного счёта

Содержание

• Введение
• Табличный и внетабличный счёт
• Использование круглого числа
• Поразрядное умножение и деление
• Быстрое умножение на 5 и 25
• Быстрое умножение и деление на 15
• Быстрое умножение на 11
• Перемножение чисел от 11 до 19
• Возведение чисел в квадрат
• Умножение с использованием опорного числа
• Перемножение чисел "крестом"
• Сумма членов последовательности
• Пособия по устному счёту

Введение

Умение вычислять "в столбик" незаменимо в сложных расчётах. Но во многих случаях приёмы устного счёта ускоряют и облегчают получение ответа, имеют практическое значение, когда нет возможности пользоваться письменными принадлеж­ностями. Тренировки на устный счёт развивают способность сосредотачивать внимание и удерживать в памяти одновременно несколько вещей.

В настоящей статье собраны и упорядочены приёмы быстрого счёта в уме с обоснованием, часть из них сопровождена картинками. Большинство приёмов является общеизвестными. Метод опорного числа взят из книги [2], указанной среди пособий по устному счёту.

Многие способы быстрого счёта можно закрепить решением практических задач из сборника [1].

Не рекомендуется чрезмерное увлечение устным счётом, чтобы не истощать нервную систему. Регулярных занятий по 15–20 минут несколько раз в неделю достаточно, чтобы развить навык устных вычислений без вреда для здоровья.

В таблице напоминаются названия чисел, входящих в арифметические выражения. Эти названия используются дальше при объяснениях.

В формулах используется верхнее подчёркивание для обозначения чисел в позиционной записи. Так, nm обозначает число, в котором n десятков и m единиц.

nm = 10 ⋅ n + m

Аналогично для трёх- и четырёхзначных чисел:

nmk = 100 ⋅ n + 10 ⋅ m + k

nmkr = 1000 ⋅ n + 100 ⋅ m + 10 ⋅ k + r

Табличный и внетабличный счёт

Сложение в пределах десяти

Первый шаг в овладении устным счётом это сложение чисел в пределах десяти. Числа от 0 до 10 представляются в виде упорядоченного ряда. Визуально их можно изобразить в виде точек на прямой, обозначающих числа в порядке возрастания слева направо.

Прибавление числа m к числу n графически представляется в виде перемещения по числовой прямой от точки n вправо на m единиц. Для примера на рисунке показано нахождение суммы 5 + 3.

После некоторой практики, приобретаемой обычно в начальных классах школы, ответы при сложении чисел в пределах десятка запоминаются. Нахождение сумм вида вида 2 + 3 = 5, 4 + 6 = 10 выполняется автоматически и становится уже не вычислением, а вспоминанием ответа, который ранее неоднократно получался.

Сложение в пределах двадцати

Следующим шагом является сложение любых однозначных чисел с переходом через десяток, то есть сложение в пределах двадцати. Такое сложение можно производить, как и ранее, с помощью перемещения вправо по числовой прямой, но появляется также иной способ, который является первым приёмом счёта.

Для примера вычислим сумму 7 + 8 иным способом. Для этого число 8 представим в виде дополнения числа 7 до десятка и остатка:  3 + 5. Тогда

Таким образом, приём сложения чисел с переходом через десяток проводится в три действия

1. Одно из слагаемых представляется в виде суммы: дополнения другого слагаемого до 10 и остатка
2. Другое слагамое складывается с дополнением и получается 10
3. 10 складывается с остатком

Преимущество такого способа, по сравнению с перемещением по числовой прямой, состоит в меньшем количестве действий за счёт применения навыков счёта в пределах 10. Так, при сложении 7 + 8 с помощью перемещения вправо по числовой прямой необходимо совершить 8 действий. В то время как счёт выше­указанным приёмом всегда производится в 3 действия.

Как и при счёте в пределах десяти, результаты сложения с переходом через десяток после достаточной практики запоминаются. После чего ответы находятся в одно действие по вспоминанию суммы, соответствующей слагаемым.

Извлечение из памяти суммы слагаемых в пределах 20 можно сравнить с выбором результата из таблицы сложения.

В указанном смысле сложение в пределах 20 является табличным.

Сложение в пределах ста

Сложение чисел в пределах ста производится поразрядно, в три действия

1. Из каждого слагаемого выделяются десятки и единицы
2. Десятки складываются с десятками, единицы — с единицами. Сложение десятков сводится к сложению в пределах десяти, а сложение единиц — к сложению в пределах двадцати, вернее восемнадцати, так как сумма наибольшего количества единиц равна 9 + 9 = 18.
3. Сумма десятков складывается с суммой единиц

Результаты сложения в пределах ста более многочисленны, чем в пределах двадцати, и не запоминаются так же просто. Поэтому сложение в пределах 100 не является табличным, но сводится к нескольким табличным операциям сложения, указанным выше.

Быстрое прибавление 8 и 9

При запоминании таблицы сложения в пределах 20, сложении в пределах 100 и далее, полезно использовать способ быстрого прибавления 8 и 9.

Прибавление 9 представляется в виде прибавления десятка за вычетом единицы

17 + 9 = 17 + 10 − 1 = 27 − 1 = 26

Получаем правило быстрого прибавления 9

1. Количество десятков увеличивается на 1
2. Количество единиц уменьшается на 1

Прибавление 8 представляется в виде прибавления десятка за вычетом 2 единиц

35 + 8 = 35 + 10 − 2 = 45 − 2 = 43

Правило быстрого прибавления 8 такое же, как для 9, за исключением того, что в пункте 2 количество единиц уменьшается на 2.

Правила быстрого прибавления 9 и 8 можно записать в виде формул

Сложение в пределах двухсот

Сложение в пределах двухсот, то есть с переходом через сотню, может производиться аналогично сложению с переходом через десяток, с разбиением одного из слагаемых на дополнение другого слагаемого до ста и остатка.

Но в данном случае проще использовать поразрядное сложение, как при сложении в пределах ста.

В отличие от поразрядного сложения в пределах сотни, сложение десятков здесь аналогично сложению в пределах двадцати, а не десяти.

Сложение в пределах тысячи

Способ №1 — объединение десятков и единиц

Когда слагаемые превышают 100, кроме единиц и десятков в них появляются сотни. Сложение производится в три действия

1. Из каждого слагаемого выделяются сотни и десятки с единицами — двузначные числа в конце (либо однозначные, если десятки отсутствуют)
2. Сотни складываются с сотнями, двузначные числа — с двузначными числами. Сложение сотен сводится к сложению в пределах десяти, а сложение двузначных чисел — к сложению в пределах двухсот.
3. Сумма сотен складывается с суммой двузначных чисел

Способ №2 — объединение сотен и десятков

Возможно другое выделение разрядов из слагаемых: сотен и десятков — двузначных чисел в начале (либо однозначных, если сотни отсутствуют) и единиц

Такой способ может оказаться легче первого, так как сначала производится более трудное сложение (двузначных чисел в пределах сотни), а потом простое (единиц в пределах двадцати). Первую сумму легче удерживать в памяти во время вычисления второй суммы — более простого и менее длительного.

Способ №3 — каждый разряд отдельно

Можно также выделять все три разряда — сотни, десятки, единицы — по отдельности и суммировать результаты

Начинать сложение всегда лучше со старших разрядов и заканчивать единицами.

Отличие первых двух способов от третьего состоит в использовании навыка сложения двузначных чисел в пределах двухсот, что может повышать скорость счёта.

Сложение с переходом через тысячу и далее

Сложение в пределах 2000, то есть с переходом через тысячу, производится так же, как и сложение в пределах тысячи, но со следующими отличиями:

• В способах №1 и №3 — сложение сотен в пределах двадцати, а не десяти
• В способе №2 — сложение десятков (двузначных чисел в начале) в пределах двухсот, а не сотни

Сложение ещё больших чисел — в пределах 10 000, 100 000 и так далее — производится аналогично, путём поразрядного сложения. При этом имеет смысл объединять соседние разряды в пары (тысячи и сотни, десятки и единицы), чтобы использовать навык сложения двузначных чисел и уменьшить количество промежуточных результатов, которые нужно удерживать в уме.

7568 + 9274 = (7000 + 9000) + (500 + 200) + (68 + 74) = 16000 + 700 + 142 = 16842

34195 + 83267 = (34000 + 83000) + (100 + 200) + (95 + 67) = 117000 + 300 + 162 = 117462

Вычитание

Вычитание является действием, обратным сложению. Разностью чисел n и m является такое число k, что m + k = n. Например, 7 − 3 = 4 потому что 3 + 4 = 7. Поэтому табличное вычитание в пределах 10 получается из табличного сложения.

Приёмы устного вычитания аналогичны ранее изложенным приёмам сложения.

∗ Подобно сложению в пределах десяти, вычитание числа m из числа n графически представляется в виде перемещения по числовой прямой от точки n влево на m единиц.

∗ При вычитании в пределах 20, с переходом через десяток, вычитаемое представляется в виде количества единиц второго десятка уменьшаемого (избытка над десятью) и остатка. Искомая разность получается вычитанием остатка из десяти.

∗ Вычитание в пределах ста, тысячи и больше производится поразрядно, как при сложении, с возможным объединением соседних разрядов в пары.

∗ Когда количество единиц уменьшаемого меньше количества единиц вычитаемого, удобно использовать дополнение вычитаемого до круглого числа

73 − 48 = (73 + 2) − (48 + 2) = 75 − 50 = 25

135 − 67 = 138 − 70 = 68

∗ Как и при сложении, есть правила быстрого вычитания 9 и 8, в которых тоже используется круглое число — десяток.

26 − 9 = 26 − 10 + 1 = 16 + 1 = 17

43 − 8 = 43 − 10 + 2 = 33 + 2 = 35

Правила быстрого вычитания 9 и 8

1. Количество десятков уменьшается на 1
2. Количество единиц увеличивается на 1 — при вычитании 9, на 2 — при вычитании 8.

Приёмы вычитания с использованием круглого числа подробно разбираются ниже.

Табличное умножение и деление

Умножение чисел сводится к многократному сложению. Так, выражение 3 × 4 является просто краткой записью выражения 3 + 3 + 3 + 3.

Основой вычисления произведений и частных является таблица умножения, которую можно освоить в два этапа. Количество разных комбинаций пар сомножителей от 2 до 9 равно 31, если считать комбинации вида 3 × 4 и 4 × 3 одинаковыми.

1) Из них 17 комбинаций сомножителей составляют произведения в пределах 30, которые несложно вычисляются путём суммирования множимого нужное количество раз. После достаточной практики результаты запоминаются.

2) Произведения оставшихся 14 комбинаций проще сразу запоминать. В этом могут помочь карточки, раскраски, игры, тренажёры, умножение на пальцах. Для запоминания лучше использовать таблицу умножения Пифагора, из которой видна структура произведений чисел от 2 до 9.

Видно, что таблица Пифагора обладает следующими свойствами

1. Клетки симметричны относительно диагонали
2. В каждой строке разница между соседними числами одинакова
3. В каждом столбце разница между соседними числами одинакова

Эти свойства позволяют восстановить забытые клетки таблицы по другим клеткам.

Произведения двузначных чисел на однозначные и более сложные являются внетабличными и вычисляются разными способами, изложенными ниже.

Внетабличный арифметический счёт состоит в сведении к табличному счёту, то есть к таблице сложения в пределах двадцати или таблице умножения чисел от 2 до 9. Лёгкость, быстрота и правильность счёта зависят от эффективности алгоритмов сведения к табличному счёту и наличия навыка, приобретаемого тренировками.

Использование круглого числа

Идея состоит в том, чтобы одно сложное вычисление заменить двумя-тремя простыми, и сводится к следующим действиям

• Замена одного из чисел на круглое число
• Учёт такой замены в результате вычисления

Под круглым числом понимается число, оканчивающееся на ноль. Чем больше нулей на конце числа, тем оно круглей, и тем легче производить арифметические действия с ним.

Вычитание

Вычитаемое близко к круглому числу

Предположим, что вычитаемое меньше некоторого круглого числа на небольшую величину. Если эту величину прибавить одновременно к уменьшаемому и вычитаемому, то разность не изменится, но её вычисление станет проще.

Например, найдём разность 4853 − 198. Вычитаемое 198 меньше круглого числа 200 на 2 единицы. Прибавляем 2 к 4853 и 198. Полученное выражение вычислить уже легче.

4853 − 198 = (4853 + 2) − (198 + 2) = 4855 − 200 = 4655

Графическая демонстрация приёма показана на рисунке зелёным цветом снизу от числовой оси.

862 − 395 = 867 − 400 = 467,   1724 − 1388 = 1736 − 1400 = 336

Уменьшаемое является круглым числом

Рассмотрим разность 7000 − 5275. Уменьшаемое можно представить в виде

7000 = 7 тысяч = 700 десятков = 699 десятков + 10 единиц

Получаем правило вычитания из полностью круглого числа, то есть числа, начинающегося с ненулевой цифры, за которой следуют одни нули

1. Цифру старшего разряда уменьшаемого уменьшить на цифру из такого же разряда вычитаемого и ещё на 1 единицу
2. Цифры в последующих разрядах разности находятся вычитанием соответствующих цифр вычитаемого из 9
3. Цифра последнего разряда разности находится вычитанием последней цифры вычитаемого из 10

Если вычитаемое короче уменьшаемого, для применения правила нужно дополнить старшие разряды вычитаемого нулями

Если уменьшаемое начинается с более чем одной ненулевой цифры, то пункт 1 правила применяется к числу в соответствующих разрядах разности, а не к одной цифре самого старшего разряда

27 000 − 14 524 = 12 476   (27 − 14 − 1 = 12)

Уменьшаемое близко к круглому числу

∗ Когда уменьшаемое превышает круглое число на небольшую величину, производится вычитание из круглого числа по приведённому выше правилу и добавляется эта величина

715 − 237 = 700 − 237 + 15 = 463 + 15 = 478

58 126 − 23 689 = 58 000 − 23 689 + 126 = 34 311 + 126 = 34 437

53 112 − 46 327 = 53 000 − 46 327 + 112 = 6 673 + 112 = 6 785

∗ Другой способ — предварительно вычесть отличие от круглого числа из уменьшаемого и вычитаемого, разность при этом не изменится

715 − 237 = (715 − 15) − (237 − 15) = 700 − 222 = 478

При обращении с небольшими числами такой способ может оказаться легче.

623 − 475 = 600 − (475 − 23) = 600 − 452 = 148

819 − 362 = 800 − (362 − 19) = 800 − 343 = 457

Сложение

∗ Если одно из слагаемых меньше круглого числа на небольшую величину, то можно добавить эту величину к данному слагаемому, прибавить полученное круглое число к другому слагаемому и вычесть указанную величину

547 + 294 = 547 + (294 + 6) − 6 = 547 + 300 − 6 = 847 − 6 = 841

325 + 996 = 325 + 1000 − 4 = 1321,   1265 + 489 = 1265 + 500 − 11 = 1754

∗ Можно рассуждать немного по другому. Количество единиц, недостающее до круглого числа, занимается у другого слагаемого путём его уменьшения:

547 + 294 = 541 + 6 + 294 = 541 + 300 = 841

325 + 996 = 321 + 1000 = 1321,   1265 + 489 = 1254 + 500 = 1754

Деление

Делимое представляется в виде суммы ближайшего круглого числа, кратного делителю, и остатка. Круглое число и остаток по отдельности делятся на делитель, результаты складываются.

Например, вычислим частное 78 : 3. Ближайшее к 78 круглое число, делящееся на 3, это 60

78 : 3 = (60 + 18) : 3 = 60 : 3 + 18 : 3 = 20 + 6 = 26

125 : 5 = 100 : 5 + 25 : 5 = 20 + 5 = 25

328 : 4 = 320 : 4 + 8 : 4 = 80 + 2 = 82

Круглое число можно брать и больше делимого, тогда остаток отрицательный и результат его деления на делитель нужно вычитать

594 : 6 = 600 : 6 − 6 : 6 = 100 − 1 = 99

788 : 4 = 800 : 4 − 12 : 4 = 200 − 3 = 197

Вычитать сложней, чем прибавлять, поэтому выбирать круглое число больше делимого целесообразно лишь когда разность между ними мала, а круглое число особенно круглое — с двумя и более нулями конце.

Умножение

Множимое представляется в виде суммы ближайшего круглого числа и остатка. Круглое число и остаток по отдельности умножаются на множитель, результаты складываются.

Например, вычислим произведение 34 ⋅ 5. Ближайшее к 34 круглое число это 30.

34 ⋅ 5 = (30 + 4) ⋅ 5 = 30 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 = 150 + 20 = 170

78 ⋅ 6 = 70 ⋅ 6 + 8 ⋅ 6 = 420 + 48 = 468

93 ⋅ 7 = 90 ⋅ 7 + 3 ⋅ 7 = 630 + 21 = 651

Примеры с выбором круглого числа, которое больше множимого:

59 ⋅ 8 = 60 ⋅ 8 − 1 ⋅ 8 = 480 − 8 = 472

692 ⋅ 4 = 700 ⋅ 4 − 8 ⋅ 4 = 2800 − 32 = 2768

Поразрядное умножение и деление

Развитие способов умножения и деления с использованием круглого числа — поразрядное умножение и деление произвольного многозначного числа на однозначное число. Круглые числа для соответствующих разрядов многозначного числа берутся меньше.

Поразрядное деление

Число в старшем разряде делимого разбивается на число, кратное делителю, и остаток. Далее это число делится и получается первая цифра частного. Остаток прибавляется к младшим разрядам. Старший разряд получившегося числа снова делится на делитель выше­указанным способом. И так далее. Поразрядное деление это повторение цикла деления с остатком, применённого к каждому разряду делимого — начиная со старшего и заканчивая младшим.

Когда все цифры числа кратны делителю, остаток при каждом делении отсутствует, и поразрядное деление осуществляется особенно просто.

369 : 3 = (300 + 60 + 9) : 3 = 300 : 3 + 60 : 3 + 9 : 3 = 100 + 20 + 3 = 123

4286 : 2 = 2143,   9336 : 3 = 3112

Если делитель большой, имеет смысл объединять соседние разряды в пары

8416 : 4 = (8400 + 16) : 4 = 8400 : 4 + 16 : 4 = 2100 + 4 = 2104

1524 : 3 = 508,   36028 : 4 = 9007,   351015 : 5 = 70203,   18624 : 6 = 3104,

2103556 : 7 = 300508,   724856 : 8 = 90607,   63274518 : 9 = 7030502

В данных примерах используются круглые числа, соответствующие спаренным разрядам. Так, при делении на 9 использованы круглые числа 63000000, 270000, 4500.

Таким образом, при поразрядном делении многозначных чисел используется не одно круглое число, а несколько. Например, при делении 2541 на 3 использовались круглые числа 2400 и 120.

Поразрядное умножение

Числа в каждом разряде множимого умножаются на множитель, произведения складываются с учётом их разрядности. То есть перед сложением к каждому произведению приписывается справа количество нулей, соответствующее разряду множимого. Действовать нужно слева направо — начинать со старшего разряда и заканчивать младшим.

587 ⋅ 4 = (500 + 80 + 7) ⋅ 4 = 500 ⋅ 4 + 80 ⋅ 4 + 7 ⋅ 4 = 2000 + 320 + 28 = 2348

Использование чисел в отдельных разрядах это использование соответствующих круглых чисел. Поразрядное умножение и деление сводятся к умножению и делению круглых чисел с последующим сложением результатов.

Быстрое умножение на 5 и 25

Быстрое умножение на 5

Результат умножения на 5 такой же, как результат умножения на 10 и деления на 2

N ⋅ 5 = N ⋅ (10 : 2) = (N : 2) ⋅ 10

Если множимое число N нечётное (не делится на 2), то можно взять на единицу меньшее число N´ = N − 1, умножить его на 5 и к результату прибавить 5.

N ⋅ 5 = (N´ + 1) ⋅ 5 = N´ ⋅ 5 + 5

Получается следующее правило быстрого умножения на число 5

1. Чётное множимое: разделить его на 2 и приписать к результату справа ноль
2. Нечётное множимое: уменьшить его на единицу, разделить на 2 и приписать справа 5

Примеры быстрого умножения на 5

36 ⋅ 5 = (36 : 2) ⋅ 10 = 18 ⋅ 10 = 180,   162 ⋅ 5 = 81 ⋅ 10 = 810

27 ⋅ 5 = (26 : 2) ⋅ 10 + 5 = 135,   243 ⋅ 5 = 121 ⋅ 10 + 5 = 1215

Быстрое умножение на 25

Результат умножения на 25 такой же, как результат умножения на 100 и деления на 4

N ⋅ 25 = N ⋅ (100 : 4) = (N : 4) ⋅ 100

Если множимое число N не делится на 4, то можно взять ближайшее меньшее число, которое делится на 4, N´ = N − k, умножить его на 25 и к результату прибавить 25 ⋅ k.

N ⋅ 25 = (N´ + k) ⋅ 25 = N´ ⋅ 25 + k ⋅ 25 = (N´ : 4) ⋅ 100 + 25 ⋅ k

Число k может принимать значения 1, 2, 3; которые соответствуют приписыванию справа к результату умножения чисел 25, 50, 75

Получается следующее правило быстрого умножения на число 25

1. Множимое делится на 4: разделить его на 4 и приписать справа два нуля
2. Множимое не делится на 4: взять ближайшее множимое, делящееся на 4, меньшее на k единиц, разделить его на 4 и приписать справа 25, 50 или 75 соответственно k (1, 2 или 3)

Примеры применения правила быстрого умножения на 25

32 ⋅ 25 = (32 : 4) ⋅ 100 = 800,   45 ⋅ 25 = (44 : 4) ⋅ 100 + 25 = 1125

162 ⋅ 25 = (160 : 4) ⋅ 100 + 50 = 4050,   283 ⋅ 25 = (280 : 4) ⋅ 100 + 75 = 7075

Деление на 5 (25) также можно заменить умножением на 2 (4) и делением на 10 (100)

445 : 5 = 445 ⋅ 2 : 10 = 890 : 10 = 89,   675 : 25 = 675 ⋅ 4 : 100 = 2700 : 100 = 27

Однако проще производить такое деление с использованием круглого числа

Быстрое умножение и деление на 15

Умножение на 15 равнозначно последовательному умножению на 1,5 (полтора) и 10, а умножение числа на 1,5 равнозначно увеличению этого числа на половину

N ⋅ 15 = N ⋅ (1,5 ⋅ 10) = (N ⋅ 1,5) ⋅ 10 = (N + N/2) ⋅ 10

Быстрое умножение числа на 15:  прибавить к числу его половину и умножить на 10

Примеры применения правила

28 ⋅ 15 = (28 + 14) ⋅ 10 = 42 ⋅ 10 = 420

63 ⋅ 15 = (63 + 31,5) ⋅ 10 = 94,5 ⋅ 10 = 945

При умножении нечётного числа на 15 проще взять на единицу меньшее чётное число N´ = N − 1, умножить его на 15 и добавить 15

63 ⋅ 15 = (62 + 1) ⋅ 15 = 62 ⋅ 15 + 15 = 945

Ещё более удобный способ (при уверенном владении десятичными дробями) — умножить число N´ на 1,5 (полтора), прибавить полтора и умножить на 10

63 ⋅ 15 = (62 + 1) ⋅ 1,5 ⋅ 10 = (62 ⋅ 1,5 + 1,5) ⋅ 10 = 945

Деление на 15 равнозначно последовательному делению на 1,5 (полтора) и делению на 10. Деление на полтора, в свою очередь, равнозначно вычитанию из делимого его третьей части.

Правило деления на 15: вычесть из делимого его треть и разделить на 10

Делимость на 15 проще заметить у круглых чисел. Тогда сначала лучше делить на 10 (убрать ноль на конце) и потом вычитать треть.

Примеры применения правила

600 : 15 = (600 − 200) : 10 = 400 : 10 = 40

930 : 15 = (930 − 310) : 10 = 620 : 10 = 62

Когда делимое легко делится на 3, такой способ может оказаться быстрей, чем использование круглого числа.

Быстрое умножение на 11

При умножении числа N на 11 удобно использовать круглое число 10. Число N умножается на 10 (приписывается ноль справа) и прибавляется к результату. Можно показать, что эти действия равнозначны несложному преобразованию умножаемого числа.

Представим произведение двузначного числа nm (n и m — количества десятков и единиц) в виде

nm ⋅ 11 = (n ⋅ 10 + m) ⋅ 11 = 110 n + 11 m = n ⋅ 100 + (n + m) ⋅ 10 + m

Количество десятков становится количеством сотен, количество единиц не меняется, а количество десятков равно сумме десятков и единиц умножаемого числа. Коротко это выражается формулой

Примеры применения формулы

35 ⋅ 11 = 3(3+5)5 = 385,   48 ⋅ 11 = 4(4+8)8 = 4(12)8 = 528

Быстрое умножение двузначного числа на 11:  цифры числа раздвигаются и между ними вставляется их сумма. Если сумма больше 9, то выделяется десяток, который увеличивает переднюю цифру на 1, посередине остаётся количество единиц.

Представим произведение трёхзначного числа nmk на 11 в виде

nmk ⋅ 11 = (n ⋅ 100 + m ⋅ 10 + k) ⋅ 11 = 1100 n + 110 m + 11 k = 1000 ⋅ n + 100 ⋅ (n + m) + 10 ⋅ (m + k) + k

Аналогично представляется выражение для произведения четырёхзначного числа на 11

nmkr ⋅ 11 = (n ⋅ 1000 + m ⋅ 100 + k ⋅ 10 + r) ⋅ 11 = 10000 ⋅ n + 1000 ⋅ (n + m) + 100 ⋅ (m + k) + 10 ⋅ (k + r) + r

По индукции получается правило умножения любого многозначного числа на 11. Между передней и задней цифрами вставляются суммы соседних цифр, начиная справа налево. Если сумма больше 9, то количество десятков (1) прибавляется к соседней цифре слева, количество единиц остаётся.

253 ⋅ 11 = 2783

137 ⋅ 11 = 14(10)7 = 1507

486 ⋅ 11 = 4(12)(14)6 = 4(13)46 = 5346

6347 ⋅ 11 = 697(11)7 = 69817

7498 ⋅ 11 = 7(11)(13)(17)8 = 7(11)(14)78 = 7(12)478 = 82478

38215 ⋅ 11 = 3(11)(10)365 = 3(12)0365 = 420365

Перемножение чисел от 11 до 19

Обозначим через 1n и 1m два числа в промежутке от 11 до 19

1n ⋅ 1m = (10 + n) ⋅ (10 + m) = 100 + 10 ⋅ (n + m) + n ⋅ m = (10 + n + m) ⋅ 10 + n ⋅ m

Вычислим по этой формуле произведение 12 ⋅ 14. В этом случае n = 2, m = 4

12 ⋅ 14 = (10 + 2 + 4) ⋅ 10 + 2 ⋅ 4 = 160 + 8 = 168

Таким образом, правило перемножения чисел от 11 до 19 получается следующее

К первому числу прибавить количество единиц второго числа, приписать справа ноль и прибавить произведение единиц этих двух чисел

Примеры применения этого правила

17 ⋅ 18 = (17 + 8) ⋅ 10 + 7 ⋅ 8 = 250 + 56 = 306

19 ⋅ 13 = (19 + 3) ⋅ 10 + 9 ⋅ 3 = 220 + 27 = 247

Исходный текст статьи находится по адресу: vmz.su/mat/us.htm

Возведение чисел в квадрат

Квадраты чисел, оканчивающихся на 5

Обозначим через n5 число, оканчивающееся на 5, n – количество десятков этого числа

n5² = (10 ⋅ n + 5)² = 100 ⋅ n² + 100 ⋅ n + 25 = 100 ⋅ n ⋅ (n + 1) + 25

В этой формуле количество десятков может быть любым числом (2-значным, 3-значным, …), поэтому данное равенство верно для любого числа n5, оканчивающегося на 5. Получается следующее правило возведения в квадрат числа, оканчивающегося на 5.

Количество десятков числа умножить на это же количество, увеличенное на единицу, и приписать справа 25

Примеры применения этого правила

15² = (1 ⋅ 2) 25 = 225

25² = (2 ⋅ 3) 25 = 625

75² = (7 ⋅ 8) 25 = 5625

165² = (16 ⋅ 17) 25 = 27225

Правило верно и при вычислении 5². В этом случае N = 0

5² = (0 ⋅ 1) 25 = 25

Квадраты произвольных чисел

Возведение в квадрат произвольного числа сводится к использованию числа, квадрат которого вычисляется легко. Такое число называется опорным. Как правило, это круглое число или оканчивающееся на 5.

Обозначим через a и b произвольные числа, N – опорное число, a´ = |N − a| – разница между a и N.

Если N меньше a, то a = N + a´

a² = (N + a´)² = N² + N ⋅ 2a´ + a´²

Если N больше a, то a = N − a´

a² = (N − a´)² = N² − N ⋅ 2a´ + a´²

Эти две формулы можно объединить в одну

Примеры возведения чисел в квадрат

31² = (30 + 1)² = 900 + 30 ⋅ 2 + 1 = 961

43² = (50 − 7)² = 2500 − 100 ⋅ 7 + 49 = 1849

62² = (50 + 12)² = 2500 + 100 ⋅ 12 + 144 = 3844

77² = (75 + 2)² = 5625 + 150 ⋅ 2 + 4 = 5929

86² = (100 − 14)² = 10000 − 100 ⋅ 28 + 196 = 7396

92² = (100 − 8)² = 10000 − 100 ⋅ 16 + 64 = 8464

106² = (100 + 6)² = 10000 + 100 ⋅ 12 + 36 = 11236

Во многих случаях проще использовать формулу, в которой опорное число N вынесено за скобки. Это особенно просто, когда опорное число N равно 100, тогда умножение на N равнозначно приписыванию нулей к числу в скобках. Если N равно 50, то умножение на него сводится к делению числа в скобках на 2 и приписыванию двух нулей.

Вышеприведённые примеры могут быть вычислены более быстрым способом. Проще сразу брать в скобках возводимое в квадрат число и прибавлять к нему (вычитать из него) количество единиц, на которое это число отличается от опорного.

31² = 30 ⋅ (31 + 1)² + 1² = 960 + 1 = 961

43² = 40 ⋅ (43 + 3) + 3² = 1840 + 9 = 1849

43² = 50 ⋅ (43 − 7) + 7² = 1800 + 49 = 1849

62² = 50 ⋅ (62 + 12) + 12² = 3700 + 144 = 3844

62² = 60 ⋅ (62 + 2) + 2² = 3840 + 4 = 3844

77² = 75 ⋅ (77 + 2) + 2² = 5925 + 4 = 5929

86² = 100 ⋅ (86 − 14) + 14² = 7200 + 196 = 7396

92² = 100 ⋅ (92 − 8) + 8² = 8400 + 64 = 8464

106² = 100 ⋅ (106 + 6) + 6² = 11200 + 36 = 11236

В таблице указаны удобные опорные числа для определённых диапазонов чисел, возводимых к квадрат. Для использования опорного числа 50 при возведении в квадрат чисел 31–39 и 61–69 необходимо помнить или уметь быстро вычислять квадраты чисел от 11 до 19. То же самое верно для использования опорного числа 100 при возведении в квадрат чисел 81–89 и 111–119.

Быстрое возведение числа в квадрат основано на использовании ближайшего круглого числа или числа, оканчивающегося на 5, и формулы квадрата суммы либо разности.

Умножение с использованием опорного числа

Перемножение чисел, сумма единиц которых равна 10

Обозначим через nm число из n десятков и m единиц, через n (10−m) — число из n десятков и 10−m единиц. Произведение таких чисел можно привести к виду

nm ⋅ n (10−m) = (n ⋅ 10 + m) ⋅ [(n + 1) ⋅ 10 − m] = n ⋅ (n + 1) ⋅ 100 + m ⋅ (10 − m)

Получаем следующее правило: количество десятков умножить на это же количество, увеличенное на единицу, приписать справа произведение единиц сомножителей

Примеры применения правила

72 ⋅ 78 = 7 ⋅ 8 ⋅ 100 + 2 ⋅ 8 = 5600 + 16 = 5616

31 ⋅ 39 = 3 ⋅ 4 ⋅ 100 + 1 ⋅ 9 = 1200 + 9 = 1209

Вышеизложенное правило возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, является частным случаем данного правила, когда m = 5, k = 5.

Перемножение чисел, равноудалённых от круглого числа

Когда множители находятся по разные стороны от круглого числа и равноудалены от него, то применяется формула сокращённого умножения для разности квадратов. Пусть N — круглое число, a — расстояние множителей от этого числа, тогда произведение представляется в виде

Число N может быть и не круглым, главное чтобы его квадрат находился легко. Удобно брать число, оканчивающееся на 5.

Примеры применения правила

29 ⋅ 31 = 30² − 1² = 900 − 1 = 899

47 ⋅ 53 = 50² − 3² = 2500 − 9 = 2491

71 ⋅ 89 = 80² − 9² = 6400 − 81 = 6319

45 ⋅ 75 = 60² − 15² = 3600 − 225 = 3375

61 ⋅ 69 = 65² − 4² = 4225 − 16 = 4209

Метод опорного числа

Обозначим через a и b два произвольных числа, N – третье число, которое будем называть опорным, a´ и b´ – разности между a и b и опорным числом N: a´ = |N − a|, b´ = |N − b|.

Если N больше a и b, то a´ = N − a, b´ = N − b

Выразим произведение чисел a и b через опорное число N и разности a´, b´

a ⋅ b = (N − a´) ⋅ (N − b´) = N² − N ⋅ (a´ + b´) + a´ ⋅ b´

Если N меньше a и b, то a´ = a − N, b´ = b − N

a ⋅ b = (N + a´) ⋅ (N + b´) = N² + N ⋅ (a´ + b´) + a´ ⋅ b´

Если N между a и b (a < N < b), то a´ = N − a, b´ = b − N

a ⋅ b = (N − a´) ⋅ (N + b´) = N² + N ⋅ (b´ − a´) − a´ ⋅ b´

Таким образом

Как показано в разделе о вычислении квадратов чисел, удобней пользоваться формулами, в которых N вынесено за скобки.

Найдём произведение 57 ⋅ 64. Опорное число выберем 60. Пользуясь одной из полученных формул, имеем

57 ⋅ 64 = (60 − 3) ⋅ (60 + 4) = 60 ⋅ [60 + (4 − 3)] − 3 ⋅ 4 = 60 ⋅ 61 − 12 = (3600 + 60) − 12 = 3648

Проще сразу брать в скобках один из сомножителей и прибавлять к нему (вычитать из него) количество единиц, на которое отличается от опорного числа второй сомножитель

57 ⋅ 64 = 60 ⋅ (57 + 4) − 3 ⋅ 4 = 60 ⋅ 61 − 12 = 3660 − 12 = 3648

Опорное число удобно выбирать круглым или оканчивающимся на 5. Если перемножаемые числа близки между собой, то опорное число следует выбирать близким к ним. Если перемножаемые числа сильно различаются, то опорное число лучше выбирать ближе к середине между ними.

Дополнительные примеры применения опорного числа при перемножении чисел

27 ⋅ 29 = 30 ⋅ (27 − 1) + 3 ⋅ 1 = 30 ⋅ 26 + 3 = (900 − 120) + 3 = 783

54 ⋅ 53 = 50 ⋅ (54 + 3) + 4 ⋅ 3 = 50 ⋅ 57 + 12 = 2850 + 12 = 2862

46 ⋅ 52 = 50 ⋅ (46 + 2) − 4 ⋅ 2 = 50 ⋅ 48 − 8 = 2400 − 8 = 2392

97 ⋅ 108 = 100 ⋅ (108 − 3) − 3 ⋅ 8 = 10 500 − 24 = 10 476

88 ⋅ 95 = 100 ⋅ (88 − 5) + 12 ⋅ 5 = 8300 + 60 = 8360

117 ⋅ 86 = 100 ⋅ (117 − 14) − 17 ⋅ 14 = 10 300 − 238 = 10 062

Изложенные ранее способы быстрого умножения вытекают из метода опорного числа при частных значениях N, a´ и b´

• Перемножение чисел от 11 до 19:  N = 10
• Возведение чисел в квадрат:  a´ = b´, a и b находятся по одну сторону от N
• Перемножение чисел, сумма единиц которых равна 10:  a´ + b´ = 10
• Перемножение чисел, равноудалённых от круглого числа:  a´ = b´, a и b находятся по разные стороны от N

Перемножение произвольных чисел

Лёгкость применения метода опорного числа зависит от близости сомножителей к опорному числу, а значит и друг к другу. Если сомножители сильно отличаются и больший сомножитель является составным числом, можно приблизить его к меньшему сомножителю путём деления на некоторое число n, произвести умножение методом опорного числа и умножить результат на n.

88 ⋅ 23 = 4 ⋅ 22 ⋅ 23 = 4 ⋅ (20 ⋅ 25 + 2 ⋅ 3) = 4 ⋅ (500 + 6) = 2000 + 24 = 2034

Когда больший сомножитель является простым числом, можно приблизить к нему меньший сомножитель путём умножения на некоторое число n, произвести умножение методом опорного числа и результат разделить на n.

31 ⋅ 87 = ¹⁄₃ ⋅ 93 ⋅ 87 = ¹⁄₃ ⋅ (90² − 3²) = ¹⁄₃ ⋅ (8100 − 9) = 2700 − 3 = 2697

В общем случае, при перемножении сильно различающихся чисел, удобно использовать способ умножения "крестом".

Перемножение чисел "крестом"

Перемножим два двузначных числа nm и pq

nm ⋅ pq = (10 ⋅ n + m) ⋅ (10 ⋅ p + q) = 100 ⋅ n ⋅ p + 10 ⋅ (n ⋅ q + m ⋅ p) + m ⋅ q

Правило умножения двузначных чисел крестом

1. Количества десятков перемножаются и дают количество сотен (приписывается два нуля) искомого произведения
2. Количества десятков перемножаются крест-накрест с количествами единиц, сумма этих двух произведений даёт количество десятков (приписывается ноль) искомого произведения
3. Количества единиц перемножаются и дают количество единиц искомого произведения

Примеры применения правила

47 ⋅ 89 = (4 ⋅ 8) ⋅ 100 + (7 ⋅ 8 + 4 ⋅ 9) ⋅ 10 + 7 ⋅ 9 = 3200 + 920 + 63 = 4183

34 ⋅ 85 = 2400 + (32 + 15) ⋅ 10 + 20 = 2400 + 470 + 20 = 2890

58 ⋅ 23 = 1000 + (160 + 150) + 24 = 1334

Наиболее просто пользоваться этим правилом, когда сомножители оканчиваются на 1

41 ⋅ 31 = 1200 + (40 + 30) + 1 = 1271

Когда сомножители начинаются или оканчиваются одинаковой цифрой, это тоже облегчает вычисление

34 ⋅ 84 = 2400 + (3 + 8) ⋅ 4 ⋅ 10 + 16 = 2856

72 ⋅ 76 = 4900 + 560 + 12 = 5472

Способ умножения "крестом" можно обобщить на перемножение трёхзначных чисел, но объём вычислений при этом существенно увеличивается.

Сумма членов последовательности

Числовая последовательность это множество, в котором

• определён порядок следования элементов
• каждый элемент множества является числом

Иначе говоря, числовая последовательность это упорядоченное множество чисел

Группировка слагаемых

При вычислении суммы нескольких чисел можно воспользоваться перестановочным свойством сложения и объединить слагаемые, сумма которых является круглым числом. Круглые числа складывать легче.

12 + 9 + 14 + 18 + 11 = (12 + 18) + (9 + 11) + 14 = 30 + 20 + 14 = 50 + 14 = 64

Аналогичный способ применяется при вычислении произведения нескольких чисел. В этом случае используется перестановочное свойство умножения и объединяются множители, произведение которых является круглым числом. Круглые числа умножать легче.

5 ⋅ 7 ⋅ 12 = (5 ⋅ 12) ⋅ 7 = 60 ⋅ 7 = 420

15 ⋅ 9 ⋅ 6 = (15 ⋅ 6) ⋅ 9 = 90 ⋅ 9 = 810

Поразрядное сложение

Если в сумме отсутствуют слагаемые, которые дают круглые числа при сложении, можно из каждого слагаемого выделить количества десятков и единиц, группировать по разрядам. Десятки складываются с десятками, единицы — с единицами.

36 + 52 + 87 + 41 = (30 + 50 + 80 + 40) + (6 + 2 + 7 + 1) = 200 + 16 = 216

Данный способ представляется в виде формулы

Использование среднего числа

Если в сумму входят близкие по значению числа, можно выделить из них среднее число и каждое слагаемое в сумме представить в виде суммы среднего числа и поправки. В таком случае нахождение суммы сводится к умножению количества слагаемых на среднее число и сложению поправок.

73 + 65 + 72 + 69 + 68 + 71 = 6 ⋅ 70 + 3 − 5 + 2 − 1 − 2 + 1 = 420 − 2 = 418

Такие суммы встречаются при обработке результатов измерений или учёта, когда числовые данные случайным образом распределены возле некоторого среднего значения.

Здесь A — среднее чисел A₁, A₂, … , A_n; a₁, a₂, … , a_n — дополнения этих чисел до A.

Сумма членов арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия это числовая последовательность, в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на одно и то же число. Это число называется разностью арифметической прогрессии.

Рассмотрим следующую сумму членов арифметической прогрессии

5 + 10 + 15 + … + 40 + 45 + 50

Можно заметить, что сумма членов, равноудалённых от концов выражения, одинакова

5 + 50 = 55, 10 + 45 = 55, 15 + 40 = 55, …

Количество членов, входящих в данную сумму, является чётным, поэтому для каждого члена имеется парный, находящийся на том же расстоянии от другого конца суммы. Количество пар в два раза меньше количества членов, входящих в сумму: 10 : 2 = 5. Таким образом, данная сумма равна 5 ⋅ 55 = 275.

Если количество членов, входящих в сумму, нечётно, то для центрального члена отсутствует пара. В таком случае находится сумма без центрального члена описанным выше способом, и к ней прибавляется центральный член.

Найдём сумму всех нечётных чисел от 50 до 100: 51 + 53 + … + 99. В эту сумму входят нечётные числа пяти полных десятков, в каждом десятке по пять нечётных чисел, следовательно количество членов, входящих в сумму, 5 ⋅ 5 = 25. Центральный член без пары это число 75. Количество пар членов, равноудалённых от концов, равно 24 : 2 = 12, сумма каждой пары 51 + 99 = 150.

51 + 53 + … + 75 + … + 97 + 99 = 12 ⋅ 150 + 75 = 1875

Пособия по устному счёту