ГлавнаяСтатьи ‣ Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества

Краткое содержание

Формулы тригонометрии с доказательствами

Содержание

Введение

Тождество это равенство, верное при любом значении входящей в него неизвестной переменной из области допустимых значений. Тригонометрические тождества используются при упрощении выражений, решении тригонометрических уравнений и геометрических задач, интегрировании функций.

Далее приведены общеизвестные формулы тригонометрии и их доказательство.

Сводка формул

I. Основные тождества

sin² α + cos² α = 1 (I.1)
tg α = sin α / cos α (I.2)
ctg α = cos α / sin α (I.3)
tg α ⋅ ctg α = 1 (I.4)
1 + tg² α = 1 / cos² α (I.5)
1 + ctg² α = 1 / sin² α (I.6)

II. Функции суммы и разности углов

sin (α ± β) = sin α ⋅ cos β ± cos α ⋅ sin β(II.1)
cos (α ± β) = cos α ⋅ cos βsin α ⋅ sin β(II.2)
tg (α ± β) = tg α ± tg β / 1 ∓ tg α ⋅ tg β (II.3)
ctg (α ± β) = ctg α ⋅ ctg β ∓ 1 / ctg β ± ctg α (II.4)

III. Функции удвоенного угла

sin 2α = 2 sin α ⋅ cos α(III.1)
cos 2α = cos² α − sin² α = 1 − 2 sin² α = 2 cos² α − 1(III.2)
tg 2α = 2 tg α / 1 − tg² α (III.3)
ctg 2α = ctg² α − 1 / 2 ctg α (III.4)

IV. Функции утроенного угла

sin 3α = 3 sin α − 4 sin³ α(IV.1)
cos 3α = 4 cos³ α − 3 cos α(IV.2)

V. Функции половинного угла

sin α / 2 = ± 1 − cos α / 2 (V.1)
cos α / 2 = ± 1 + cos α / 2 (V.2)
tg α / 2 = ± 1 − cos α / 1 + cos α = sin α / 1 + cos α = 1 − cos α / sin α (V.3)
ctg α / 2 = ± 1 + cos α / 1 − cos α = 1 + cos α / sin α = sin α / 1 − cos α (V.4)

Выбор знака (±) перед корнем определяется координатной четвертью, в которой заканчивается угол

VI. Универсальная тригоно­метрическая подстановка

sin α = 2 tg α / 2 / 1 + tg² α / 2 (VI.1)
cos α = 1 − tg² α / 2 / 1 + tg² α / 2 (VI.2)
tg α = 2 tg α / 2 / 1 − tg² α / 2 (VI.3)
ctg α = 1 − tg² α / 2 / 2 tg α / 2 (VI.4)

Исходный текст статьи находится по адресу: vmz.su/s/tt.htm

VII. Произведение функций

cos α ⋅ cos β = 1 / 2 [cos (α − β) + cos (α + β)](VII.1)
sin α ⋅ sin β = 1 / 2 [cos (α − β) − cos (α + β)](VII.2)
sin α ⋅ cos β = 1 / 2 [sin (α − β) + sin (α + β)](VII.3)

VIII. Сумма и разность функций

cos α + cos β = 2 cos α + β / 2 ⋅ cos α − β / 2 (VIII.1)
cos α − cos β = − 2 sin α + β / 2 ⋅ sin α − β / 2 (VIII.2)
sin α ± sin β = 2 sin α ± β / 2 ⋅ cos α ∓ β / 2 (VIII.3)
tg α ± tg β = sin (α ± β) / cos α ⋅ cos β (VIII.4)
ctg α ± ctg β = sin (β ± α) / sin α ⋅ sin β (VIII.5)

IX. Степени функций

sin² α = 1 / 2 (1 − cos 2α)(IX.1)
cos² α = 1 / 2 (1 + cos 2α)(IX.2)
sin³ α = 1 / 4 (3 sin α − sin 3α)(IX.3)
cos³ α = 1 / 4 (3 cos α + cos 3α)(IX.4)

X. Формулы дополни­тельного угла

a sin α + b cos α = a² + b² sin (α + φ) = a² + b² cos (α − γ)(X.1)
a sin α − b cos α = a² + b² sin (α − φ) = a² + b² cos (α + γ)(X.2)
sin α + cos α = 2 sin (α + π4) = 2 cos (α − π4)(X.3)
sin α − cos α = 2 sin (α − π4) = 2 cos (α + π4)(X.4)
φ = arctg b / a    γ = arctg a / b

Доказательство формул

Все формулы выводятся из первоначальных двух: основного тригонометрического тождества (I.1) и формулы косинуса разности углов (II.2). Также используются выражения тангенса и котангенса через синус и косинус (I.2)(I.3), свойства чётности косинуса и нечётности синуса:  sin (−α) = −sin α,  cos (−α) = cos α.

I. Основные тождества

Основное тригонометрическое тождество

Докажем сначала формулы в случае когда угол α острый. Тогда можно использовать определения синуса и косинуса для острого угла в прямоугольном треугольнике с катетами a, b и гипотенузой c.

sin α = a / c    cos α = b / c

Пользуясь теоремой Пифагора, получаем формулу (I.1)

sin² α + cos² α = / + / = a² + b² / = / = 1

Это равенство является тождеством, так как никаких ограничений на значение угла α не делалось, кроме того, что он острый. Следовательно оно верно для любого острого угла.

Тождества с тангенсом и котангенсом

А. Пользуясь определением тангенса, получаем тождество (I.2)

tg α = a / b = a / c c / b = a / c : b / c = sin α / cos α

Б. Таким же образом находится выражение для котангенса (I.3). Перемножая его с выражением для тангенса (I.2), получаем тождество (I.4).

В. Тождество (I.5) получается последовательным применением (I.2) и (I.1)

1 + tg² α = 1 + sin² α / cos² α = cos² α + sin² α / cos² α = 1 / cos² α

Г. Вывод тождества (I.6) аналогичен.

II. Функции суммы и разности углов

А. Выражение для косинуса разности углов (II.2) получается с помощью теоремы косинусов или метода координат на тригонометрическом круге. Доказательство здесь не приводится, планируется добавить его через некоторое время.

Б. Выражения для косинуса суммы углов (II.2) получается из выражения для косинуса разности путём использования чётности косинуса и нечётности синуса

cos (α + β) = cos [α − (−β)] = cos α ⋅ cos (−β) + sin α ⋅ sin (−β) = cos α ⋅ cos βsin α ⋅ sin β

В. Выражение для синуса разности углов (II.1) находится путём сведения синуса к косинусу с помощью формулы приведения sin α =cos (π/2 − α) и применения уже доказанного тождества (II.2)

sin (α − β) = cos [π2 − (α − β)] = cos [(π2 − α) + β)] = cos (π2 − α) ⋅ cos βsin (π2 − α) ⋅ sin β = sin α ⋅ cos βcos α ⋅ sin β

Г. Выражения для синуса разности углов (II.1) получается из выражения для синуса суммы путём использования чётности косинуса и нечётности синуса

sin (α − β) = sin [α + (−β)] = sin α ⋅ cos (−β) + cos α ⋅ sin (−β) = sin α ⋅ cos βsin α ⋅ cos β

Д. Тождество (II.3) для тангенса суммы и разности выводится путём подстановки выражения тангенса через синус и косинус (I.2) и использования уже доказанных формул (II.1) и (II.2)

tg (α ± β) = sin (α ± β) / cos (α ± β) = sin α ⋅ cos β ± cos α ⋅ sin β / cos α ⋅ cos β ∓ sin α ⋅ sin β = sin α / cos α ± sin β / cos β / 1 ∓ sin α / cos α sin β / cos β = tg α ± tg β / 1 ∓ tg α ⋅ tg β

Е. Тождество (II.4) выводится таким же образом.

III. Функции удвоенного угла

Формулы III группы получаются из формул II группы, записанных для функций суммы углов, полагая в них β = α.

А. Для примера найдём выражение для синуса удвоенного угла (III.1).

sin 2α = sin (α + α) = sin α ⋅ cos α + cos α ⋅ sin α = 2 sin α ⋅ cos α

Б. Вторая и третья разновидности правой части (III.2) получаются из первой с помощью основного тригонометрического тождества

cos² α − sin² α = 1 − sin² α − sin ² α = 1 − 2 sin² α

cos² α − sin² α = cos² α − (1 − cos² α) = 2 cos² α − 1

IV. Функции утроенного угла

Тождества (IV.1) и (IV.2) получаются последова­тельным использо­ванием выражений для функций суммы углов (II.1) и (II.2) при β = 2α соответственно, удвоенного угла (III.1)(III.2) и основного тригоно­метричес­кого тождества (I.1).

А. Так, для синуса утроенного угла имеем

sin 3α = sin (2α + α) = sin 2α ⋅ cos α + cos 2α ⋅ sin α = 2 sin α ⋅ cos² α + (1 − 2 sin²α) ⋅ sin α = 2 sin α ⋅ (1 − sin² α) + sin α − 2 sin³ α = 3 sin α − 4 sin³ α

Б. Выражение для косинуса утроенного угла получается схожим образом.

V. Функции половинного угла

Синус и косинус половинного угла

Из второй и третьей разновидностей выражения для косинуса удвоенного угла (III.2) следует, что

sin² α = 1 − cos 2α / 2    cos² α = 1 + cos 2α / 2

Заменяя α → α/2, получаем

sin² α / 2 = 1 − cos α / 2    cos² α / 2 = 1 + cos α / 2 ,

откуда вытекают тождества (V.1) и (V.2).

Тангенс и котангенс половинного угла

А. Первая разновидность правой части выражения для тангенса половинного угла (V.3) следует из тождества (I.2) и только что выведенных (V.1) и (V.2)

tg² α / 2 = sin² α / 2 / cos² α / 2 = 1 − cos α / 1 + cos α

Б. Вторая разновидность получается с помощью основного свойства дроби — умножения числителя и знаменателя на выражение 1 + cos α, формулы сокращённого умножения для разности квадратов и основного тригонометрического тождества (I.1)

tg α / 2 = ± 1 − cos α / 1 + cos α = ± (1 − cos α) (1 + cos α) / (1 + cos α) (1 + cos α) = ± 1 − cos² α / (1 + cos α)² = ± sin² α / (1 + cos α)² = sin α / 1 + cos α

Знак "±" перед последним выражением отсутствует, так как 1 + cos α > 0 при любом α из области допустимых значений (α ≠ π n, n ∈ ℤ), а знак тангенса половинного угла всегда совпадает со знаком синуса этого угла, в чём можно убедиться на тригонометрическом круге.

В. Третья разновидность выражения для тангенса половинного угла получается умножением числителя и знаменателя на 1 − cos α и схожими действиями.

Г. Тождество для котангенса половинного угла (V.4) выводится таким же образом.

VI. Универсальная тригоно­метрическая подстановка

А. Пользуясь выражением для синуса удвоеного угла (III.1), в котором α → α/2, а также соотношениями (I.2) и (I.5), получаем тождество (VI.1)

sin α = 2 sin α / 2 ⋅ cos α / 2 = 2 sin α / 2 / cos α / 2 ⋅ cos² α / 2 = 2 tg α / 2   1 / 1 + tg² α / 2

Б. Таким же образом, используя выражение для косинуса удвоенного угла (III.2), приходим к тождеству (VI.2)

cos α = cos² α / 2 − sin² α / 2 = cos² α / 2  1 − sin² α / 2 / cos² α / 2 =   1 / 1 + tg² α / 2 (1 − tg² α / 2 )

В. Оставшиеся два тождества (VI.3) и (VI.4) получаются из выражений (I.2) и (I.3) соответственно подстановкой в них только что доказанных (VI.1)(VI.2).

С помощью формул V группы выражение, состоящее из тригонометрических функций, преобразуется к алгебраическому путём замены переменной t = tg (α/2). Решение тригонометрического уравнения сводится к решению алгебраического с неизвестной переменной t. Также, нахождение первообразных тригонометрических выражений сводится к интегрированию алгебраических функций. Поэтому эти формулы называются универсальной подстановкой.

VII. Произведение функций

А. Запишем выражения для косинуса разности и суммы углов (II.2) по отдельности

cos (α − β) = cos α ⋅ cos β + sin β ⋅ sin α

cos (α + β) = cos α ⋅ cos β − sin β ⋅ sin α

Складывая и вычитая эти два равенства, находим

cos (α − β) + cos (α + β) = 2 cos α ⋅ cos β

cos (α − β) − cos (α + β) = 2 sin β ⋅ sin α

Отсюда непосредственно вытекают тождества (VII.1) и (VII.2).

Б. Тождество (VII.3) получается подобным образом, путём сложения выражений для синуса суммы и разности углов (II.1), записанных по отдельности.

VIII. Сумма и разность функций

Из формул VII группы усматривается, что они связывают выражения для суммы или разности функций с выражениями для их произведения. Поэтому формулы VIII группы могут быть получены из формул VII группы заменой переменных.

Сумма и разность косинусов

А. Перепишем тождество (VII.1) в виде

cos (α − β) + cos (α + β) = 2 cos α ⋅ cos β

Введём новые переменные:

γ = α − β    δ = α + β

Исходные переменные выражаются через новые следующим образом:

α = γ + δ / 2    β = δ − γ / 2

В переменных γ и δ записанное выше тождество принимает вид

cos γ + cos δ = 2 cos γ + δ / 2 ⋅ cos δ − γ / 2

С точностью до переобозначений переменных (γ → α, δ → β), учитывая чётность функции косинуса, это соотношение совпадает с тождеством (VIII.1).

Б. Таким же способом из тождества (VII.2) получается выражение для разности косинусов (VIII.2).

Сумма и разность синусов

В. Так же из тождества (VII.3) выводится выражение для суммы синусов (VIII.3).

Г. В группе формул VII отсутствует связь между произведением функций и разностью синусов. Однако, пользуясь свойством нечётности функции синуса можно сумму синусов представить в виде разности:

sin (α − β) + sin (α + β) = sin (α + β) − sin (β − α)

С учётом этого равенства, тождество (VII.3) переписывается в виде:

sin (α + β) − sin (β − α) = 2 sin α ⋅ cos β

После замены переменных

{ γ = α + β   δ = β − α  ⇔  { α = γ − δ / 2 β = γ + δ / 2

оно принимает вид, равнозначный тождеству (VIII.3) для разности синусов:

sin γ − sin δ = 2 sin γ − δ / 2 ⋅ cos γ + δ / 2

Физический смысл формул (VIII.1)(VIII.3): сумма гармонических колебаний с разными частотами является модулированным гармоническим колебанием. Полусумма этих частот равна несущей частоте результирующего колебания, а полуразность — частоте модуляции, то есть колебаний амплитуды

Сумма и разность тангенсов и котангенсов

Тождества (VIII.4) и (VIII.5) получаются подстановкой выражений (I.2) и (I.3) для тангенса и котангенса, приведением дробей к общему знаменателю, использованием выражения (II.1) для синуса суммы углов и нечётности функции синуса.

Д. Так, для суммы и разности тангенсов имеем

tg α ± tg β = sin α / cos α ± sin β / cos β = sin α ⋅ cos β ± sin β ⋅ cos α / cos α ⋅ cos β = sin (α ± β) / cos α ⋅ cos β

Е. Таким же образом находится выражение для суммы котангенсов.

IX. Степени функций

Формулы понижения степени группы IX получаются из тождеств групп III и IV для функций удвоенного и утроенного углов соответственно. Для этого степенной член выражается через остальные члены тождества. Так, например, тождество (IV.2) переписывается в виде

4 cos³ α = cos 3α + 3 cos α,

из которого следует выражение для куба косинуса (IX.4).

X. Формулы дополнительного угла

Вывод формул состоит в вынесении за скобки множителя, введении вспомогательного угла и использовании выражений для синуса или косинуса суммы или разности (II.1)(II.2).

А. Так, например, тождество (X.1) получается следующим образом

a sin α + b cos α = a² + b² ( a / a² + b² sin α + b / a² + b² cos α)

Введём обозначение:

cos φ = a / a² + b²

Угол φ называется вспомогательным или дополнительным. Такой угол существует, поскольку выражение в правой части по модулю не больше единицы при любых a и b.

Пользуясь основным тригонометрическим тождеством (I.1), находим

sin φ = ±1 − cos² α = ±1 − a² / a² + b² = ± b / a² + b²

Выберем угол φ таким, чтобы sin φ > 0. Он существует, поскольку для любой комбинации знаков синуса и косинуса на тригонометрическом круге имеется соответствующий угол.

Таким образом, для любых a и b существует угол φ такой, что

a / a² + b² = cos φ    b / a² + b² = sin φ

Подставляя это в записанное выше равенство и пользуясь выражением для синуса суммы (II.1), получаем

a sin α + b cos α = a² + b² (cos φ ⋅ sin α + sin φ ⋅ cos α) = a² + b² sin (α + φ)

Для вспомогательного угла имеем

tg φ = sin φ / cos φ = b / a   ⇒   φ = arctg b / a

Б. Вторая разновидность правой части тождества (X.2) получается при другом выборе вспомогательного угла:

a / a² + b² = sin γ    b / a² + b² = cos γ

После этого нужно использовать выражение для косинуса разности углов (II.2).

В. Тождество (X.2) получается таким же способом. При выводе первой разновидности правой части формулы нужно использовать выражение для синуса разности углов (II.1), при выводе второй — косинуса суммы углов (II.2).

Синусоида и косинусоида сдвинуты друг относительно друга на π/2. Физический смысл формул X группы: сумма гармонических колебаний с одинаковой частотой и разностью фаз в четверть периода является гармоническим колебанием той же частоты с промежуточной фазой и увеличенной амплитудой

Г. Тождества (X.3) и (X.4) являются частными случаями (X.1) и (X.2) соответственно, при a = b = 1. Тогда a² + b² = 2, φ = γ = arctg 1 = π / 4.

Александр К © vmz.su

Размещено на сайте 28.06.2020
Дополнено 15.06.2025

УСЛОВИЯ КОПИРОВАНИЯ